Lezioni di Elettrotecnica 2. Il teorema di Thevenin e Norton

Ora che abbiamo visto che sono i circuiti elettrici nella precedente lezione introduttiva vediamo adesso di entrare nello specifico dei principali teoremi dell’elettrotecnica.

Principio di Sovrapposizione degli Effetti

Siccome i circuiti sono regolati da operazioni algebriche lineari (somma, sottrazioni, moltiplicazione, divisione ) vale il principio di sovrapposizione degli effetti per determinare la tensione e la corrente. Tale principio non vale quindi per determinare la corrente in quanto la relazione che la lega alla corrente è di tipo quadratico.

 

Da una rete lineare contenente n generatori indipendenti di tensione o di corrente , la tensione relativa ad una coppia di nodi o la corrente in un ramo puo’ essere determinata come somma algebrica degli n valori che quella tensione o quella corrente assume quando gli n generatori indipendenti si suppongono agenti separatamente , uno per volta

 

Che in formula si puo’ tradurre come

ossia esprime la possibilità di potere scomporre un problema complesso in relazioni lineare.

Questo dal punto di vista teorico. Dal punto di vista pratico in elettrotecnica.
Il principio di sovrapposizione degli effetti ci dice che è possibile considerare un generatore per volta. Per quelli di Corrente gli altri saranno equivalenti a un corto circuito ossia Resistenza pari 0, mentre per quelli di tensione gli altri saranno pari a Resistenza infinita o circuito aperto.

Il secondo passo sarà quello di calcolare la Req del circuito del ramo considerato

Ripetere lo stesso procedimento epr gli altri circuiti

Fare la somma algebrica delle correnti risultanti.

Facciamo un Esempio sul principio di sovrapposizione degli effetti

Consideriamo fig1 , quindi il primo passo sarà corto circuitare il generatore di corrente Ib e otterremo in tal modo figura 2.

In questa maniera avremo eliminato anche R2 in quanto la corrente scorrerà dove troverà meno resistenza ossia nel cortocircuito. Quindi avremo che la corrente che chiameremo

Ia = 400 / 100 = 4 A

Cortocircuitiamo ora il generatore A in questo caso avremo la figura 3 , ossia un parallelo e un generatore di corrente.

In questo caso la corrente

Ib = Vb / (R1||R2) =30 A

Mentre

I2'' = 1000/ 50 = 20A

Ia''=1000/100=10A

Sommando algebricamente le correnti e tenendo conto dei versi avremo

I2 =I2' + I2'' = 20A
Ia=Ia'-Ia'' =4A-10A = -6A

IB =IB''-IB' = 26 A

Analogamente avremo fatto in caso di tensioni però mettendo i generatori a circuito aperto

Partitore di Tensione

iL partitore di tensione è un circuito elettrico caratterizzato da due o piu’ componenti resistivi o passivi in serie ai capi dei quali viene applicata una tensione che verrà ripartita in base al valore dei componenti stessi.

Si dimostra che

Vout = Vin R2/(R1+R2)

Partitore di Corrente

Il partitore di corrente è il duale di quello di tensione. E’ costituito dalla corrente elettrica che fluisce su un’impedenza in parallelo con un’altra impedenza. Si dimostra che

In = 1/Rn /(1/R1 + 1/R2 + 1/R3+......+1/Rn) *I

 Matrice di Input Output di una rete lineare

Dato un qualsiasi circuito elettrico si puo’ sempre schematizzare come una rete lineare del tipo

Sistema che può essere riscritto come

che in forma matriciale diventa

che può essere riscritta come

dove

e

e quindi ogni singolo termine diventa

dove

Esempio Matrice di Input Output lineare

Consideriamo il seguente schema circuitale

poniamo le tre resistenze pari a 10 Ohm ossia R1=R2=R3 10 Ohm. con E1 = 10 V e A1= 5A. In questa maniera per quanto visto sopra il sistema diventa

con

E ponendo E1 a zero otteniamo il seguente circuito con

I = E1 / (R1 + R2||R3) ) E1/15

da cui

Vx = R1 I = 2/3 E1

A questo punto applicando il partitore di corrente al nodo 1 otteniamo

Ix1 = R2 I/(R2+R3) = E1/30

e

Ix2 = Ix1

da cui

k11 = k21 = 1/30

e

k31 =2/3

riprendiamo adesso gli stessi coefficienti con X1 =0

Che corrisponde

Che corrisponde a mettere E1=0 o cortocircuitarlo. E quindi la tensione Vx diventa

Vx = - (R3||R2||R1) A1 = -10/3 A1

e

Ix1 = - Vx / R3 = A1/3

e

Ix2 = - Vx/R2 = A1/3

E quindi otteniamo che

la matrice dei coefficienti completa diventa quindi

da cui possiamo risolvere il nostro sistema di equazioni come

Teorema di Thevenin

Il bipolo ricavato estraendo due morsetti Ae B da una qualsiasi rete lineare puo’ essere sostituito dalla serie di un generatore ideale di tensione Eeq di valore uguale alla tensione a vuoto del bipolo, stesso , con un resistore di valore Req pari al rapporto tra questa tensione a vuoto e la corrente Ieq circolante tra i morsetti Ae B supposti chiusi in cortocircuito. Vediamo subito un esempio per comprendere

Il primo passo è quindi quello di mettere i due morsetti a e b a circuito aperto. In questo modo su R1 non ci scorrerà piu’ alcuna corrente.

Per trovare Vab o V eq che si vede ai capi di AB applichiamo il partitore di tensione e quindi abbiamo che

Vab = (R2+R3)V1/((R2+R3)+R4) =7,5 V

che è anche uguale a

Vab = i (R2+R3)

Per calcolare la Req bisogna considerare una corrente entrante nel morsetto A e uscente in quello B con i generatori di tensione in cortocircuito e quelli di corrente in circuito aperto. In questa maniera il circuito altro non è che una serie di R1 con R3 e R2 in parallelo a R4 ossia

Req = Rab = R1 + ((R3+R2)||R4) = 2 k Ω

Teorema di Norton

Il teorema di Norton è l’equivalente per la tensione del teorema di Thevenin. Si trova mettendo in cortocircuito i nodi A e B e e calcolando la conduttanza equivalente. Quindi come enunciato se abbiamo un circuito del genere si procede nel seguente modo.

Si Cortocircuitano i terminali AB e si calcola la corrente che passa in questo corto circuito.
Una volta fatto questo si procede al calcolo della Req annullano i generatori di tensione e sostituendoli con dei cortocircuiti, mentre quelli di corrente con dei circuiti aperti. Si calcola quindi la Req