Consideriamo adesso un circuito elettrico che contenga al suo interno resistore , induttori e condensatori in corrente continua stazionario.
La risoluzione di un circuito di questo tipo presuppone la conoscenza dell’equazioni differenziali di secondo grado. Vediamo come risolve il problema grazie alla teoria delle equazioni differenziali.
Ovviamente la soluzione rientra più nel corso di Analisi 2 , quindi daremo molti concetti per assodati. Consideriamo il circuito RLC in evoluzione libera . Quindi abbiamo che
con condizioni iniziali note pari a
derivando e moltiplicando primo e secondo membro per 1/L otteniamo che
che con le condizioni iniziali diventa
ponendo ora
e
l’equazione sopra puo’ essere riscritta come
E la teoria dell’equazioni differenziali ci dice che la soluzione è del tipo
quindi andando a sostituire si ottiene che
che si può riscrivere come
ed essendo
ne consegue che
le cui radici sono
e quindi le due possibili combinazioni sono
Equazione che porta a tre possibili casi
- se
- se
- se
Vediamo i vari casi nello specifico
Caso Smorzamento Critico
Quindi in questo caso abbiamo che
da cui deriva che
dove C2 e C1 sono le condizioni iniziale note.
ossia graficamente diventa
che graficamente diventa. Ossia dopo alcune costanti di tempo il valore della corrente tende ad andare a zero.
Caso Sottosmorzato
La soluzione porta ad avere delle radici complesse e coniugate del tipo
quindi la soluzione dell’equazione è del tipo
e siccome
il tutto è riscrivibile come
che graficamente diventa
Caso Sovrasmorzato
In questo caso le due radici sono date da
e l’equazione è del tipo
mentre graficamente abbiamo
I circuiti che abbiamo visto fino ad adesso erano in caso di evoluzione libera adesso vediamo in caso di evoluzione forzata ossia con l’ausilio di un generatore di corrente e un RLC in parallelo come in figura
In questo caso rifacendo debitamente tutti i calcoli otteniamo che
derivando e facendo opportuni calcoli
ponendo
otteniamo
che ancora una volta porta ai tre casi
E come potete vedere in tutti e tre i casi abbiamo un valore a regime e un valore transitorio che tende a scomparire dopo 5 costanti di tempo