Finora vi avevamo parlato solamente di potenza in un bipolo lineare esprimibile con la formula che lega tensione e corrente nel tempo. Ossia
p(t) = v(t) i(t)
questa formula in regime stazionario, in corrente continua ad esempio diventa una costante. In regime sinuosidale le cose cambiano. Consideriamo infatti
dia avere una tensione del tipo
v(t) = √2 V cos(ωt+ϑv)
e un’intensità di corrente esprimibile come
i(t) = √2 I cos(ωt+ϑi)
la potenza risultante sarà quindi
p(t) = 2 VI cos(ωt+ϑv) cos(ωt+ϑi)
che grazie alla relazione trigonometrica
cosα cosβ = ½ [cos(α−β) + cos(α+β)]
è riscrivibile come
p(t) = VI cos(ϑv−ϑi) + VI cos(2ωt +ϑv+ϑi)
ossia otteniamo una prima parte che è una costante , mentre una seconda parte che varia nel tempo. Con una frequenza doppia di quella dei suoi elementi costitutivi che l’hanno generata.
Il primo termine è riscribile come
P = VI cosϕ
che prende il nome appunto di potenza attiva. Analogamente passanto nel dominio dei fasori con pochi passaggi si arriva a dimostrare che corrisponde
P = V · I = Re (V I*) [watt, W]
dalla relazione
ϕ = ϑv−ϑi
otteniamo che la corrente può essere riscritta come
i(t) = √2 I cos(ωt+ϑv−ϕ)
e ricordando la relazione trigonometrica cos(α+β) = cosαcos β – senαsen β
otteniamo che
i(t) = √2I cos(ωt+ϑv) cosϕ +√2I sen(ωt+ϑv)senϕ
che è riscrivibile come
i(t) = ia(t) + ir(t)
dove la corrente attiva è data da
ia(t) = √2I cosϕ cos(ωt+ϑv)
mentre la corrente reattiva è data da
ir(t) = √2Isenϕ cos(ωt+ϑv−π/2)
introducendo questo valore nella formula di partenza abbiamo che
p(t) = v(t)[ia(t) + ir(t)]
e con altri analoghi passaggi algebrici otteniamo che
p(t) = pa(t) + pr(t)
dove la potenza attiva è data da
pa(t) = VI cosϕ + VI cosϕ cos(2ωt+2ϑv)
e la potenza reattiva
pr(t) = VIsenϕ sen(2ωt+2ϑv)
che in termini di fasori possono essere riscritti come
S = V I* = P+jQ
dove
P = V Ia Q = V Ir