Lezioni di Elettrotecnica 3.10. Circuito RLC in regime sinuosoidale

Vediamo adesso di risolvere l’equazione che regola un circuito RLC forzato da un regime sinuosoidale. Abbiamo già visto l’equazioni che regolano un circuito forzato in corrente continua. Questo è invece il caso della corrente alternata.
Ma prima di partire a scrivere le relazioni circuitali abbiamo bisogno di un’analisi differenziali dell’equazioni.
Partiamo quindi dall’equuazione differenziale generale

noi prenderemo però una più specifica al nostro caso , dovendola poi adattare a un circuito elettrico. Ossia consideriamo la seguente.

dove

e u(t) e v(t) due funzioni reali. Sostituiamo e otteniamo

uguagliamo le parti reali e immaginarie e abbiamo

ossia due equazioni differenziali del secondo ordine strettamente correlate. Ossia se poniamo

allora è opportuno mettere

in modo che

Circuito RLC forzato a regime

Con le nozioni che abbiamo appreso , andiamo adesso a considerare un circuito RLC forzato del tipo

Deriviamo

E otteniamo un’equazione differenziale del secondo ordine la cui soluzione puo’ essere composta da due soluzioni. Una omogenea e una particolare .Quella omogenea per

ossia un’equazione tale e quale abbiamo già trovato per i circuiti RLC in regime stazionario e evoluzione libera.
Mentre per trovare una soluzione particolare a questa equazione supponiamo che

e andiamo a sostituire  nell’equazione sopra e  otteniamo

dividiamo per e sviluppiamo

ossia

che in modulo e fase diventa

e di conseguenza l’espressione aprticolare della corrente nel dominio dei fasori

Mentre per determinare la soluzione particolare della corrente bisogna procedere nel seguente modo.

Questo ci permette anche di trovare rapidamente anche la corrente che scorre nel condensatore in quanto

Ossia non c’e’ bisogno di rifare tutti i calcoli. Sviluppando nel dominio dei fasori abbiamo quindi

la cui parte reale è quindi la vc(t) cercata.