Vediamo adesso di risolvere l’equazione che regola un circuito RLC forzato da un regime sinuosoidale. Abbiamo già visto l’equazioni che regolano un circuito forzato in corrente continua. Questo è invece il caso della corrente alternata.
Ma prima di partire a scrivere le relazioni circuitali abbiamo bisogno di un’analisi differenziali dell’equazioni.
Partiamo quindi dall’equuazione differenziale generale
noi prenderemo però una più specifica al nostro caso , dovendola poi adattare a un circuito elettrico. Ossia consideriamo la seguente.
dove
e u(t) e v(t) due funzioni reali. Sostituiamo e otteniamo
uguagliamo le parti reali e immaginarie e abbiamo
ossia due equazioni differenziali del secondo ordine strettamente correlate. Ossia se poniamo
allora è opportuno mettere
in modo che
Circuito RLC forzato a regime
Con le nozioni che abbiamo appreso , andiamo adesso a considerare un circuito RLC forzato del tipo
Deriviamo
E otteniamo un’equazione differenziale del secondo ordine la cui soluzione puo’ essere composta da due soluzioni. Una omogenea e una particolare .Quella omogenea per
ossia un’equazione tale e quale abbiamo già trovato per i circuiti RLC in regime stazionario e evoluzione libera.
Mentre per trovare una soluzione particolare a questa equazione supponiamo che
e andiamo a sostituire nell’equazione sopra e otteniamo
dividiamo per e sviluppiamo
ossia
che in modulo e fase diventa
e di conseguenza l’espressione aprticolare della corrente nel dominio dei fasori
Mentre per determinare la soluzione particolare della corrente bisogna procedere nel seguente modo.
Questo ci permette anche di trovare rapidamente anche la corrente che scorre nel condensatore in quanto
Ossia non c’e’ bisogno di rifare tutti i calcoli. Sviluppando nel dominio dei fasori abbiamo quindi
la cui parte reale è quindi la vc(t) cercata.