Si definisce grandezza periodica di periodo T una qualsiasi funzione che corrisponda alla relazione
a(t) = a(t + nT)
dove n appartiene agli interi naturali e T è il periodo della funzione.
a(t) = Am sen ( (2 π / T) t + ϕ)
dove
- Am è il valore massimo dell’ampiezza
- ϕ è la fase
- f è la frequenza e l’inverso del periodo T.
Il dominio dei fasori
Alla funzione a(t) descritta sopra si fa corrispondere il fasore secondo la formula di Eulero
dove la grandezza
viene detto fasore della funzione v(t) alla pulsazione ω.
Un circuito le cui grandezze costitutive di corrente e tensione sono sinusoidi di pulsazione ω e non hanno elementi non lineari al loro interno possono essere analizzati con il dominio dei fasori. Abbiamo quindi stabilito la relazione
Un tipico regime sinusoidale è quello della corrente alternata
Proprietà dei fasori
Ogni fasore gode delle seguenti proprietà
Il che ci permette di riscrivere le formule di Resistenza, Condensatore e Induttore come
Esempi Fasori
Trovare i seguenti fasori delle funzioni
100 √2 sen ( ωt - π/3)
da cui si vede immediatamente che
Am = 100 √2 e ϕ = -π/3
Quindi per la formula di Eulero noi stiamo cercando una formula riscrivibile come
quindi
V = 100 √2 / √2 =100 ϕ = -π/3
Ossia per la formula di Eulero abbiamo
V = 100 [ cos (-π/3 ) + j sen (-π/3) ] =50 -50 j √3
Secondo esempio Trovare il fasore di -10 sen (ωt)
tale funzione è riscrivibile come
-10 sen (ωt + π)
da cui si ottiene
A= 10/√2 (cos π + j sen π) = -10/√2
l motivo per cui si ricorre ai fasori è molto semplice. Consideriamo un semplice circuito in regime sinuosoidale con f1 = 50 Hz e f2 = 100 Hz e pensiamo a tutte le operazione di trigonometria che dovremo fare per calcolare l’impedenza di questo semplice bipolo. Con i fasori il tutto è riscrivibile come
e sviluppanto arriviamo alla formula
per cui sostituendo i valori incogniti otteniamo
ma non solo se volessimo avere la frequenza f2 a questo punto ci basterebbe sostituire i relativi valori.
Nell’ultimo esempio abbiamo introdotto i termine
-jXL e -jXc che prendono il nome di impedenza. Il loro inverso si chiama ammettenza. Secondo lo schema della seguente tabella
Per i fasori valgono tutte le leggi che abbiamo già visto ossia . Ossia le due leggi di Kirkhoff, le impedenze serie parallelo e le trasformazioni stella triangolo che abbiamo già incontrato.