Vedremo adesso in questa nuova lezione i diagrammi di Bode e relativi diagrammi per la sua rappresentazione. Consideriamo quindi la funzione
Come si vede dalla formula questa equazione può essere rappresentata in tre modi differenti.
Come parte parte reale e parte immaginaria o Diagramma di Nyquist
Come argomento in funzione del suo modulo o diagramma di Chart
Come modulo e argomento in funzione della sua pulsazione o diagramma di Bode
Ovviamente stiamo trattando di numeri complessi.
Richiamiamo quindi brevemente alcune proprietà dei numeri complessi
alcune proprietà dei logaritmi. Che ci permettono di scrivere
Introduciamo adesso i decibel. Senza entrare nello specifico dato. Data la funzione complessa W(jw) in funzione della sua pulsazione il suo decibel è dato
|W(jω)|dB = 20 log10 |W(jω)|
che ci permette di riscrivere nella cosidetta scala lograritmica che è appunto lineare e semplificata
.
Quindi se noi poniamo
l’equazione del decibel può essere riscritta come
dove
s db =20 log10 r
svolgendo i calcoli algebrici.
Consideriamo la seguente funzione data
Dove il fattore sh rappresenta eventuali poli multipli nell’origine.
che in forma fattorizzata con le costanti di tempo si dimostra essere
Diagramma di Bode in modulo e fase
e quindi il logaritmo del modulo è
mentre la fase è data da
dove il valore K prende il nome di costante di guadano
- Se h = 0 rappresenta il guadano statico
- Se h=1 K si chiama costante di velocità
- Se h = 2 K si chiama costante di accellerazione.
da cui si vede che sia in caso di modulo che di argomento il diagramma di bode è costituito dalle seguenti funzioni elementari
Guadagno Costante
Ossia sia
G(s) =K
e passando nel domino della frequenza abbiamo
che in modulo e fase possiamo riscriviere come
e facendo il diagramma di modulo e fase risulta
Polo nell’origine.
Nel caso ci sia solamente un polo nell’origine la funzione diventa
e quindi
dal diagramma dei moduli ioltre si vede che ha una pendenza di -1 ossia -20 db/dec.
Polo Reale
Mettiamo adesso che la funzione G(s) abbia un polo reale ossia sia del tipo
E il diagramma di Bode diventa
da cui si vede che alle basse frequenze il modulo tende a uno e la fase a zero. Mentre alle alte frequenze la G tende a zero e la fase a −π/2
Come si vede dal diagramma
Poli Complessi Coniugati
Con (0≤δ <1):
Supponiamo di avere la seguente G(s)
con ampiezze e fasi date da
.
Che per valori pari a r δ ∈ {0, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1}
Diventa
Pulsazione di risonanza dalla G(s) sopra poniamo
u = ω/ωn
Quindi il massimo ottenibile dal modulo dell’ampiezza si ha per un minimo della funzione
La cui derivata è data da
E quindi tralasciando al soluzione nulla che non porta contributo informativo al problema abbiamo che la frequenza di risonanza è data da
Le pulsazioni ωa e ωb sono legate alla pulsazione ωn dalla relazione:
Esempio Diagramma di Bode
Consideriamo la funzione
Cerchiamo di scriverla nella forma canonica vista sopra ossia
Se riusciamo a scriverla in questo modo il valore 8 rappresenta il guadagno della funzione di trasferimento data.
Come si vede la funzione ha due poli nell’origine che valgono appunto zero. Un polo reale s=-1 e un doppio polo reale per s=-5
Esempio 2 Diagramma di Bode
Tracciamo la funzione di trasferimento per
G(s) = 2/s
che nel dominio della frequenza in modulo e fase risulta
quindi
mentre
La fase è sempre ovviamente negativa e pari a -90 gradi. E come potete vedere dal grafico la pendenza è -1.
Grafi asintotici di Bode.
Consideriamo la funzione
quindi le singole componenti risultano essere
E si disegnono i contribuiti Ossia
K è costante e |K| = -7.96 db e arg K = −π.
Inoltre ha uno zero instabile (1-s) e un polo stabile (1+s)-1. Il loro contributo nel diagramma delle fasi si somma . E l’ampiezza ω → ∞ `e −π
La coppia di poli complessi e coniugati
determina sul diagramma
asintotico delle ampiezze una attenuazione di −40 db/dec a partire dalla pulsazione ωn = 5. Il contributo al diagramma delle fasi `e negativo di ampiezza complessiva −π al variare di ω. Le pulsazioni alle quali si ha un cambiamento di pendenza del diagramma asintotico delle fasi sono le seguenti con δ = 0.8 coefficiente di smorzamento.
Rimettendo insieme tutte queste considerazioni si ha il diagramma di Bode dell’Ampiezza e delle fasi
e
