In generale si definisce un numero complesso quel numero che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali il tipico esempio è dato da
Nel particolare
Si definisce numero complesso
che gode delle seguenti proprietà
somma numeri complessi
prodotto numeri complessi
e vale il seguente
i * i = -1
Un numero complesso di dice formato da una parte reale e da una parte immaginaria.
a + ib -> a parte reale e b parte immaginaria.
Dato z= a +ib si definisce il suo complesso coniugato
Si definisce l’inverso di un numero complesso a + ib diverso da zero come
si definisce modulo di un numero complesso come
e la sua anomalia o argomento come
θ
individuato a meno di multipli di 2π.
E siccome vale la relazione trigonometrica che ci dice che
a = ρ cos θ e b = ρ sin θ
allora si ha che
e quindi il numero complesso si può anche riscrivere come
che porta alla formula finale che è data da
Formula di De Moivre
Siano z1 e z2 due numeri complessi e sia il loro prodotto dato da
vale quindi la seguente
Teorema delle Radici
Sia z un numero complesso
che ammette n radici n-esime w distinte date dalla formula
Esempio numero complessi
Calcoliamo adesso quale siano le tre radici cubiche e complesse del numero intero 8.
Quindi abbiamo che
che ci porta a concludere che le tre radici sono
Formula di Eulero
Si data la funzione
Anche per lei valgono le funzioni che abbiamo già conosciuto per i numeri reali ossia abbiamo che
consideriamo adesso la funzione z = x +i y con x, y appartenenti al campo dei numeri reali allora vale la seguente
che porta a scrivere la formula di Eulero come
