Lezione 2.2 Metodi Matematici Ingegneria. Applicazioni trasformata di Laplace ai Circuiti Elettrici.

La trasformata di Laplace e relativa anti trasformata sono molto utili per la risoluzione delle equazioni lineari ordinari a coeffciienti costanti. Supponiamo di averere un equazione del tipo

dove α e  β rappresentano due valori costanti e le condizioni iniziali sono date da

Y(0) =A

Y'(0) =B

con A e B costanti definite dal sistema a contorno.
Si dimostra che una soluzione particolare di questo sistema di equazioni è dato da

la cui trasfromata di Laplace è data da .

Consideriamo un circuito del tipo

Formato da

• generatore o fem che si misura in Volt V
• un resistore di Resistenza R in Ohm
• Un indittuore con induttanza L herny
• Capacitore con capacità C

Dato che valgono le seguenti relazioni che regolano i sistemi circuitali dati dalla fisica

• Potenziale su in Resitore RI = R dQ/dt
• Potenziale su un induttore = L dI/dt = L d2 Q /dt2
• Potenziale su un condensatore Q/C

E applicando le leggi di Kirckhooff alle maglie il circuito sopra è riscrivibile come

Analogia che ci permette di risolvere un sistema analiticamente complesso in modo più semplice con la trasformata di Laplace

Esempio Trasformata di Laplace applicata a un circuito elettrico.

Consideriamo il seguente circuito

Con la condizione iniziale che al tempo t = 0 la carica presente nel capacitore e la corrente che circola nel circuito nulle
Quindi per quello che abbiamo detto sopra abbiamo che la scrittura della legge alle maglie del circuito diventa

e siccome I = dQ/dt il tutto è riscrivibile come

con el condizioni iniziali che sono date da

Q(0) =0
I(0)= Q'(0)=0

Consideriamo un’ipotetica tensione di 300 V in questo caso abbiamo

E apèplicando la trasformata di Laplace si ha

svolgendo q si ottiene quindi

la cui antitrasformata diventa

e quindi il valore finale della corrente . Ovviamente noi abbiamo posto un generatore di corrente continua , ma lo stesso procedimento era ottenibile anche in corrente sinuosoidale alternata.

In definitiva è oltremodo evidente che eseguendo applicando la trasformata di Laplace ad un circuito elettrico il sistema ne risulta semplificato.