La trasformata di Laplace e relativa anti trasformata sono molto utili per la risoluzione delle equazioni lineari ordinari a coeffciienti costanti. Supponiamo di averere un equazione del tipo
dove α e β rappresentano due valori costanti e le condizioni iniziali sono date da
Y(0) =A Y'(0) =B
con A e B costanti definite dal sistema a contorno.
Si dimostra che una soluzione particolare di questo sistema di equazioni è dato da
la cui trasfromata di Laplace è data da .
Consideriamo un circuito del tipo
Formato da
- generatore o fem che si misura in Volt V
- un resistore di Resistenza R in Ohm
- Un indittuore con induttanza L herny
- Capacitore con capacità C
Dato che valgono le seguenti relazioni che regolano i sistemi circuitali dati dalla fisica
- Potenziale su in Resitore RI = R dQ/dt
- Potenziale su un induttore = L dI/dt = L d2 Q /dt2
- Potenziale su un condensatore Q/C
E applicando le leggi di Kirckhooff alle maglie il circuito sopra è riscrivibile come
Analogia che ci permette di risolvere un sistema analiticamente complesso in modo più semplice con la trasformata di Laplace
Esempio Trasformata di Laplace applicata a un circuito elettrico.
Consideriamo il seguente circuito
Con la condizione iniziale che al tempo t = 0 la carica presente nel capacitore e la corrente che circola nel circuito nulle
Quindi per quello che abbiamo detto sopra abbiamo che la scrittura della legge alle maglie del circuito diventa
e siccome I = dQ/dt il tutto è riscrivibile come
con el condizioni iniziali che sono date da
Q(0) =0 I(0)= Q'(0)=0
Consideriamo un’ipotetica tensione di 300 V in questo caso abbiamo
E apèplicando la trasformata di Laplace si ha
svolgendo q si ottiene quindi
la cui antitrasformata diventa
e quindi il valore finale della corrente . Ovviamente noi abbiamo posto un generatore di corrente continua , ma lo stesso procedimento era ottenibile anche in corrente sinuosoidale alternata.
In definitiva è oltremodo evidente che eseguendo applicando la trasformata di Laplace ad un circuito elettrico il sistema ne risulta semplificato.