Ora che abbiamo visto che sono i circuiti elettrici nella precedente lezione introduttiva vediamo adesso di entrare nello specifico dei principali teoremi dell’elettrotecnica.
Principio di Sovrapposizione degli Effetti
Siccome i circuiti sono regolati da operazioni algebriche lineari (somma, sottrazioni, moltiplicazione, divisione ) vale il principio di sovrapposizione degli effetti per determinare la tensione e la corrente. Tale principio non vale quindi per determinare la corrente in quanto la relazione che la lega alla corrente è di tipo quadratico.
Da una rete lineare contenente n generatori indipendenti di tensione o di corrente , la tensione relativa ad una coppia di nodi o la corrente in un ramo puo’ essere determinata come somma algebrica degli n valori che quella tensione o quella corrente assume quando gli n generatori indipendenti si suppongono agenti separatamente , uno per volta
Che in formula si puo’ tradurre come
ossia esprime la possibilità di potere scomporre un problema complesso in relazioni lineare.
Questo dal punto di vista teorico. Dal punto di vista pratico in elettrotecnica.
Il principio di sovrapposizione degli effetti ci dice che è possibile considerare un generatore per volta. Per quelli di Corrente gli altri saranno equivalenti a un corto circuito ossia Resistenza pari 0, mentre per quelli di tensione gli altri saranno pari a Resistenza infinita o circuito aperto.
Il secondo passo sarà quello di calcolare la Req del circuito del ramo considerato
Ripetere lo stesso procedimento epr gli altri circuiti
Fare la somma algebrica delle correnti risultanti.
Facciamo un Esempio sul principio di sovrapposizione degli effetti
Consideriamo fig1 , quindi il primo passo sarà corto circuitare il generatore di corrente Ib e otterremo in tal modo figura 2.
In questa maniera avremo eliminato anche R2 in quanto la corrente scorrerà dove troverà meno resistenza ossia nel cortocircuito. Quindi avremo che la corrente che chiameremo
Ia = 400 / 100 = 4 A
Cortocircuitiamo ora il generatore A in questo caso avremo la figura 3 , ossia un parallelo e un generatore di corrente.
In questo caso la corrente
Ib = Vb / (R1||R2) =30 A
Mentre
I2'' = 1000/ 50 = 20A Ia''=1000/100=10A
Sommando algebricamente le correnti e tenendo conto dei versi avremo
I2 =I2' + I2'' = 20A Ia=Ia'-Ia'' =4A-10A = -6A IB =IB''-IB' = 26 A
Analogamente avremo fatto in caso di tensioni però mettendo i generatori a circuito aperto
Partitore di Tensione
iL partitore di tensione è un circuito elettrico caratterizzato da due o piu’ componenti resistivi o passivi in serie ai capi dei quali viene applicata una tensione che verrà ripartita in base al valore dei componenti stessi.
Si dimostra che
Vout = Vin R2/(R1+R2)
Partitore di Corrente
Il partitore di corrente è il duale di quello di tensione. E’ costituito dalla corrente elettrica che fluisce su un’impedenza in parallelo con un’altra impedenza. Si dimostra che
In = 1/Rn /(1/R1 + 1/R2 + 1/R3+......+1/Rn) *I
Matrice di Input Output di una rete lineare
Dato un qualsiasi circuito elettrico si puo’ sempre schematizzare come una rete lineare del tipo
Sistema che può essere riscritto come
che in forma matriciale diventa
che può essere riscritta come
dove
e
e quindi ogni singolo termine diventa
dove
Esempio Matrice di Input Output lineare
Consideriamo il seguente schema circuitale
poniamo le tre resistenze pari a 10 Ohm ossia R1=R2=R3 10 Ohm. con E1 = 10 V e A1= 5A. In questa maniera per quanto visto sopra il sistema diventa
con
E ponendo E1 a zero otteniamo il seguente circuito con
I = E1 / (R1 + R2||R3) ) E1/15
da cui
Vx = R1 I = 2/3 E1
A questo punto applicando il partitore di corrente al nodo 1 otteniamo
Ix1 = R2 I/(R2+R3) = E1/30
e
Ix2 = Ix1
da cui
k11 = k21 = 1/30
e
k31 =2/3
riprendiamo adesso gli stessi coefficienti con X1 =0
Che corrisponde
Che corrisponde a mettere E1=0 o cortocircuitarlo. E quindi la tensione Vx diventa
Vx = - (R3||R2||R1) A1 = -10/3 A1
e
Ix1 = - Vx / R3 = A1/3 e
Ix2 = - Vx/R2 = A1/3
E quindi otteniamo che
la matrice dei coefficienti completa diventa quindi
da cui possiamo risolvere il nostro sistema di equazioni come
Teorema di Thevenin
Il bipolo ricavato estraendo due morsetti Ae B da una qualsiasi rete lineare puo’ essere sostituito dalla serie di un generatore ideale di tensione Eeq di valore uguale alla tensione a vuoto del bipolo, stesso , con un resistore di valore Req pari al rapporto tra questa tensione a vuoto e la corrente Ieq circolante tra i morsetti Ae B supposti chiusi in cortocircuito. Vediamo subito un esempio per comprendere
Il primo passo è quindi quello di mettere i due morsetti a e b a circuito aperto. In questo modo su R1 non ci scorrerà piu’ alcuna corrente.
Per trovare Vab o V eq che si vede ai capi di AB applichiamo il partitore di tensione e quindi abbiamo che
Vab = (R2+R3)V1/((R2+R3)+R4) =7,5 V
che è anche uguale a
Vab = i (R2+R3)
Per calcolare la Req bisogna considerare una corrente entrante nel morsetto A e uscente in quello B con i generatori di tensione in cortocircuito e quelli di corrente in circuito aperto. In questa maniera il circuito altro non è che una serie di R1 con R3 e R2 in parallelo a R4 ossia
Req = Rab = R1 + ((R3+R2)||R4) = 2 k Ω
Teorema di Norton
Il teorema di Norton è l’equivalente per la tensione del teorema di Thevenin. Si trova mettendo in cortocircuito i nodi A e B e e calcolando la conduttanza equivalente. Quindi come enunciato se abbiamo un circuito del genere si procede nel seguente modo.
Si Cortocircuitano i terminali AB e si calcola la corrente che passa in questo corto circuito.
Una volta fatto questo si procede al calcolo della Req annullano i generatori di tensione e sostituendoli con dei cortocircuiti, mentre quelli di corrente con dei circuiti aperti. Si calcola quindi la Req