Lezioni di Elettrotecnica 3.1 La potenza attiva e reattiva .

Finora vi avevamo parlato solamente di potenza in un bipolo lineare esprimibile con la formula che lega tensione e corrente nel tempo. Ossia

p(t) = v(t) i(t)

questa formula in regime stazionario, in corrente continua ad esempio diventa una costante. In regime sinuosidale le cose cambiano. Consideriamo infatti

dia avere una tensione del tipo

v(t) = √2 V cos(ωt+ϑv)

e un’intensità di corrente esprimibile come

i(t) = √2 I cos(ωt+ϑi)

la potenza risultante sarà quindi

p(t) = 2 VI cos(ωt+ϑv) cos(ωt+ϑi)

che grazie alla relazione trigonometrica

cosα cosβ = ½ [cos(α−β) + cos(α+β)]

è riscrivibile come

p(t) = VI cos(ϑv−ϑi) + VI cos(2ωt +ϑv+ϑi)

ossia otteniamo una prima parte che è una costante , mentre una seconda parte che varia nel tempo. Con una frequenza doppia di quella dei suoi elementi costitutivi che l’hanno generata.
Il primo termine è riscribile come

P = VI cosϕ

che prende il nome appunto di potenza attiva. Analogamente passanto nel dominio dei fasori con pochi passaggi si arriva a dimostrare che corrisponde

P = V · I = Re (V I*) [watt, W]

dalla relazione

ϕ = ϑv−ϑi

otteniamo che la corrente può essere riscritta come

i(t) = √2 I cos(ωt+ϑv−ϕ)

e ricordando la relazione trigonometrica cos(α+β) = cosαcos β – senαsen β
otteniamo che

i(t) = √2I cos(ωt+ϑv) cosϕ +√2I sen(ωt+ϑv)senϕ

che è riscrivibile come

i(t) = ia(t) + ir(t)

dove la corrente attiva è data da

ia(t) = √2I cosϕ cos(ωt+ϑv)

mentre la corrente reattiva è data da

ir(t) = √2Isenϕ cos(ωt+ϑv−π/2)

introducendo questo valore nella formula di partenza abbiamo che

p(t) = v(t)[ia(t) + ir(t)]

e con altri analoghi passaggi algebrici otteniamo che

p(t) = pa(t) + pr(t)

dove la potenza attiva è data da

 pa(t) = VI cosϕ + VI cosϕ cos(2ωt+2ϑv)

e la potenza reattiva

pr(t) = VIsenϕ sen(2ωt+2ϑv)

che in termini di fasori possono essere riscritti come

S = V I* = P+jQ

dove

P = V Ia
Q = V Ir