Sia data una funzione F(x) per le quali valgono le condizioni di dirichlet ossia
sia F(x) definita nell’intervallo c< x < c+ 2l
Sia F(x) e F'(x) generalmente continua in c< x < c+ 2l
F(x + 2l) = F(x) ossia la funzione sia periodico con periodo pari a 2l . Allora in ogni punto di continuità la funzione vale
e nel punto di discontinuità vale
1/2 { F(x+0) + F (x -0) ossia il valore medio dei limiti destro e sinistro nella discontinuità. Ua serie con queste proprietà prende il nome di Serie di Fourier.
La Serie di Fourier
- si dice dispari se F(x) = F(-x)
- si dice pari se F(-x) = F(x)
Nel primo caso figurano i termini seno nel secondo caso i termini coseno definiti a meno di una costante.
Ossia
La forma complessa della Serie di Fourier è data da
Si definisce trasformata seno di Fourier
Mentre la sua anti trasformata è data da
analogamente le trasformate seno e coseno di Fourier sono date da
e
Integrale di Fourier
Sia F(x) una funzione che soddisfa le condizioni di Dirichlet nell’intervallo di riferimento (-l, l) e sia il suo integrale convergente nell’intervallo e quindi la sua funzione F(x) assolutamente intergrabile allora
che può essere riscritta anche come
Questo per ogni punto di continuità mentre nei punti di discontinuità il suo valore diventa
1/2 ( F(x+0) + F(x-0))
e nella sua forma complessa si può riscrivere come
La trasformata di Fourier diventa quindi
Si definisce la trasformata coseno di Fourier
e la sua anti trasformata come
Teorema della convoluzione della Trasformata di Fourier
La convoluzione di due funzioni F(x) e G(x) con x compreso nell’intervallo (-∝ , ∝) è data da
Analogamente se H(x) è la convoluzione di F(x) e G(x) allora si ha che la trasformata di Fourier della convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier
Relazione Trasformata di Fourier e di Laplace
Consideriamo la seguente funzione
Quindi applicando la trasformata di Fourier abbiamo che
dove s = x + iy, Inoltre dalla convoluzione di Fourier
abbiamo che
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Sia data una funzione F(x) per le quali valgono le condizioni di dirichlet ossia
sia F(x) definita nell’intervallo c< x < c+ 2l
Sia F(x) e F'(x) generalmente continua in c< x < c+ 2l
F(x + 2l) = F(x) ossia la funzione sia periodico con periodo pari a 2l . Allora in ogni punto di continuità la funzione vale
e nel punto di discontinuità vale
1/2 { F(x+0) + F (x -0) ossia il valore medio dei limiti destro e sinistro nella discontinuità. Ua serie con queste proprietà prende il nome di Serie di Fourier.
La Serie di Fourier
Nel primo caso figurano i termini seno nel secondo caso i termini coseno definiti a meno di una costante.
Ossia
La forma complessa della Serie di Fourier è data da
Si definisce trasformata seno di Fourier
Mentre la sua anti trasformata è data da
analogamente le trasformate seno e coseno di Fourier sono date da
e
Integrale di Fourier
Sia F(x) una funzione che soddisfa le condizioni di Dirichlet nell’intervallo di riferimento (-l, l) e sia il suo integrale convergente nell’intervallo e quindi la sua funzione F(x) assolutamente intergrabile allora
che può essere riscritta anche come
Questo per ogni punto di continuità mentre nei punti di discontinuità il suo valore diventa
e nella sua forma complessa si può riscrivere come
La trasformata di Fourier diventa quindi
Si definisce la trasformata coseno di Fourier
e la sua anti trasformata come
Teorema della convoluzione della Trasformata di Fourier
La convoluzione di due funzioni F(x) e G(x) con x compreso nell’intervallo (-∝ , ∝) è data da
Analogamente se H(x) è la convoluzione di F(x) e G(x) allora si ha che la trasformata di Fourier della convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier
Relazione Trasformata di Fourier e di Laplace
Consideriamo la seguente funzione
Quindi applicando la trasformata di Fourier abbiamo che
dove s = x + iy, Inoltre dalla convoluzione di Fourier
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