Lezione 1.2 Metodi Matematici Ingegneria. Teoremi dei Residui e Cauchy Riemann

Per le funzioni complesse valgono anche i teoremi sui limiti e sulla continuità già visti per le funzioni Reali . E per quanto riguarda le derivate abbiamo che .

Si definisce derivata di f(z)  il limite se esiste di

Inoltre se tale limite esiste per

per  δ>0  e sufficientemente piccolo allora la funzione f(z) si dice analitica nel punto z_{0 .}

Equazioni di Cauchy Riemann

Sia data una funzione w =f(z) tale che

f(z) =  u(x,y) + i v(x,y)

sia una funzione complessa analitica e siano soddisfatte le condizioni di Cauchy Riemann

allora tali derivate sono continue in R e sono sufficienti a dimostrare che f(z) sia nalaitica in R . Inoltre derivando successivamente si ottiene che

Ossia sono soddisfatte le equazioni di Laplace a due dimensioni e prendono il nome di funzioni armoniche

Integrali di Linea

Si definisce Integrale di linea lungo la curva C

dove P e Q sono due funzioni di x e y.  Tale integrale gode delle seguenti proprietà

e

Se l’integrale di cui sopra racchiude una linea chiusa allora si dice chiuso e si rappresenta come

Teorema di Green

Consideriamo una linea chiusa come in figura

Si definisce quindi il Teorema di Green nel piano come

Teorema di Cauchy

Sia C una linea semplice chiusa e limitata. Sia f(z) la sua funzione limitata in C ossia tale che

allora vale il Teorema di Cauchy che afferma che

Ossia indipendentemente dal percorso che la funzione realizza l’integrale in un percorso chiuso è nullo sia che si percorra la linea da z₁ a z₂ o viceversa.

si defenisce integrale di Cauchy come

Punti Singolari

Un punto singolare di una  funzione f(z) è un valore di z per il quale la funzione non è naaltica. Se f(z) è analitica in tutta una regione salvo che un suo punto interno z=a si dice che z = a è una singolarità di f(z) 

per esempio f(z) = 1/(z-2)² ha una singolarità in z = 2

Poli

Sia

dove la funzione al numeratore sia analitica in tuta la regione che  comprende z = a , e se n è un numero intero positivo allora f(z) ha una singolarità isolata in z= a che è detta polo di ordine n . Se n = 1 si dice anche il polo è semplice se n=2 si dice che il polo è doppio.

per esempio

contiene due singolarità un polo di ordine 2 e un polo doppio in z= 3 e un polo di ordine  o polo semplice in z= -1

Si definisce la Serie di Laurent come

Residui.

I coefficienti della Serie di Laurent si determinano con i residui che sono dati dalla formula

Teorema dei Residui

Sia f(z) analitica in R tranne che per z=a e sia C una linea chiusa che racchiude la singolarità a . Allora tenendo conto che

si dimostra che

che nella sua forma più estesa diventa