Per le funzioni complesse valgono anche i teoremi sui limiti e sulla continuità già visti per le funzioni Reali . E per quanto riguarda le derivate abbiamo che .
Si definisce derivata di f(z) il limite se esiste di
Inoltre se tale limite esiste per
per δ>0 e sufficientemente piccolo allora la funzione f(z) si dice analitica nel punto z0 .
Equazioni di Cauchy Riemann
Sia data una funzione w =f(z) tale che
f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
sia una funzione complessa analitica e siano soddisfatte le condizioni di Cauchy Riemann
allora tali derivate sono continue in R e sono sufficienti a dimostrare che f(z) sia nalaitica in R . Inoltre derivando successivamente si ottiene che
Ossia sono soddisfatte le equazioni di Laplace a due dimensioni e prendono il nome di funzioni armoniche
Integrali di Linea
Si definisce Integrale di linea lungo la curva C
dove P e Q sono due funzioni di x e y. Tale integrale gode delle seguenti proprietà
e
Se l’integrale di cui sopra racchiude una linea chiusa allora si dice chiuso e si rappresenta come
Teorema di Green
Consideriamo una linea chiusa come in figura
Si definisce quindi il Teorema di Green nel piano come
Teorema di Cauchy
Sia C una linea semplice chiusa e limitata. Sia f(z) la sua funzione limitata in C ossia tale che
allora vale il Teorema di Cauchy che afferma che
Ossia indipendentemente dal percorso che la funzione realizza l’integrale in un percorso chiuso è nullo sia che si percorra la linea da z1 a z2 o viceversa.
si defenisce integrale di Cauchy come
Punti Singolari
Un punto singolare di una funzione f(z) è un valore di z per il quale la funzione non è naaltica. Se f(z) è analitica in tutta una regione salvo che un suo punto interno z=a si dice che z = a è una singolarità di f(z)
per esempio f(z) = 1/(z-2)² ha una singolarità in z = 2
Poli
Sia
dove la funzione al numeratore sia analitica in tuta la regione che comprende z = a , e se n è un numero intero positivo allora f(z) ha una singolarità isolata in z= a che è detta polo di ordine n . Se n = 1 si dice anche il polo è semplice se n=2 si dice che il polo è doppio.
per esempio
contiene due singolarità un polo di ordine 2 e un polo doppio in z= 3 e un polo di ordine o polo semplice in z= -1
Si definisce la Serie di Laurent come
Residui.
I coefficienti della Serie di Laurent si determinano con i residui che sono dati dalla formula
Teorema dei Residui
Sia f(z) analitica in R tranne che per z=a e sia C una linea chiusa che racchiude la singolarità a . Allora tenendo conto che
si dimostra che
che nella sua forma più estesa diventa
