Lezione 2.1 Metodi Matematici Ingegneria. L’Anti trasformata di Laplace

L’anti trasformata di Laplace è il procedimento inverso che data una trasformata si possa ottenere la sua inversa. Questo principio si chiama linearità e lo vedremo in seguito.

La trasformata con l’anti trasformata di Laplace trovano largo uso nell’evoluzione di circuiti lineare a evoluzione libera, che abbiano una relazione ingresso uscita del tipo (in elettrotecnica viene anche chiamata funzione di trasferimento)

Funzione Razionale di trasferimento trasformata di Laplace

 

mentre in termini matematici quella sopra scritta si chiama funzione razionale F(s) se an =1 allora il polinomio si chiama monomio

Il grado relativo della funzione razionale è dato da n-m con n≥ m

Facciamo due casi

  • grado relativo ≥ 1 quindi il polinomio è scomponibile in P(s) e Q(s) ossia in fratti semplici che siano facilmente antitrasformabili

  • grado relativo = 0 Il polinomio può esere antitrasformato come il rapporto di una costante e di una frazione propria. Dove l’anti trasfromata di una costante prende il nome di delta o impulso di Dirac.

Un polinomio complesso posto uguale a zero ammette n possibili radici reali o complesse. Nel caso ci siano anche complesse allora esistono anche le coniugate.

L’equazione

Anti trasformata di Laplace funzione caratteristica

prende il nome di equazione caratteristica della funzione di trasferimento F(s) data.

Consideriamo quindi il polinomio P(s) e consideriamo che siano p1, … , pn le sue radici. ossia  che z1…..zm e p1 ….pn sono gli zeri della funzione P(S) e Q(S) , la funzione razionale F(s) può essere riscritta come

Poli e Zeri della trasformata di Laplace

 

E le costanti complesse

  • z1, …, zm prendono il nome di zeri di F(s)
    p1, …, pn prendono il nome di poli di F(s)

Facciamo due esempi semplici per comprenderne il funzionamento sia data la funzione di trasferimento in questa maniera e la riscriviamo subito in termini di coefficienti che andremo a determinare

Anti trasformata di Laplace funzione caratteristica

quindi per la formula che vi abbiamo indicato sopra possiamo riscrivere il tutto come

Anti trasformata di Laplace funzione caratteristica

ossia abbiamo identificato lo zero della funzione e i due poli che sono rispettivamente

Anti trasformata di Laplace funzione caratteristica

 

 

e quindi siccome vale la relazione

Esempio Anti trasformata di Laplace

la stessa può essere riscritta in fratti semplici come

 

Esempio Anti trasformata di Laplace

 

che sono facilmente anti trasformabili

Esempio Anti trasformata di Laplace

Anti Trasformata di Laplace Poli Multipli

 

Vediamo adesso un esempio di poli nel campo dei numeri complessi. In questo caso come vi abbiamo detto se esiste il polo complesso esisterà anche il suo coniugato

dove i coefficienti in questo caso sono

con poli multipli ovviamente intendiamo che  alcuni poli possano essere ripetuti al contrario dei poli semplici dove ognuno esisteva una volta sola Per la proprietà della linearità della trasformata di Laplace abbiamo che

 

se e solo se

che quindi rappresenta anche la sua anti trasformata . Vediamo un esempio sia scriviamo una funzione F(s) che sia riscrivibile come

quindi i suoi coefficienti sono

ed è quindi scomponibile in fratti semplici come

la cui anti trasformata è quindi facilmente scrivibile come

Consideriamo adesso la figura sono raffigurati tutti i possibili casi

lm

 

 

 

di poli semplici reali e/o complessi e poli multipli reali o complessi.

Come potete vedere la funzione anti trasformata può essere limitata , limitata e convergere a un valore o divergere a volori infiniti. Ovviamente per quanto riguarda i sistemi si ha che

 

  • una risposta limitata allora il sistema risultante è stabile
  • una risposta divergente allora il sistema risultante è instabile